Question

A-Bv=dv/dt,v=?，怎么得出v=（1-e^-Bt）A/B

求过程尽可能详细点

Answer 1

求微分方程 dv/dt=A-Bv的通解；
解：先求齐次方程 dv/dt=-Bv的通解：分离变量得 dv/v=-Bdt；
积分之得lnv=-Bt+lnc₁；故齐次方程的通解为：v=c₁e^(-Bt);
将c₁换成t的函数u，得v=ue^(-Bt)..........①;
将①对t取导数得：dv/dt=(du/dt)e^(-Bt)-Bue^(-Bt)..........②
将①②代入原式得：(du/dt)e^(-Bt)-Bue^(-Bt)=A-Bue^(-Bt)；
消去同类项得：(du/dt)e^(-Bt)=A;
即du=Ae^(Bt)dt；积分之得：u=A∫e^(Bt)dt=(A/B)∫e^(Bt)d(Bt)=(A/B)e^(Bt)+C;
代入①式即得原方程的通解为：v=[(A/B)e^(Bt)+C]e^(-Bt)=(A/B)+Ce^(-Bt);
【如果有初始条件：t=0时v=0; 那么可求得C=-A/B; 代入便得特解：v=(A/B)(1-e^(-Bt)】