Question

若关于x的方程x^2+ax+2b=0一个根0<x1<1,另一根1<x2<2,则(b-2)/(a-1)的范围

Answer 1

若x^2+ax+2b=0的其根是0<x1<1和1<x2<2，
那么f(0)和f(2)将大于0，f(1)将小于0。
从f(0)>0可得b>0，
从f(1)<0可得a+2b+1<0，
从f(2)>0可得a+b+2>0。
其3个不等公式可以图来形容，参阅插图。
如图所示，可满足3个不等公式的a值和b值被包括在黑色区域。
从黑色区域中，a的范围是-3<a<-1，b的范围是0<b<1。
欲获得(b-2)/(a-1)的最小值，
b-2的值必须最小，即b-2=-1当b=1。
同时a-1的值必须最大，即a-1=-4当a=-3。
那么，(b-2)/(a-1)的最小值是1/4。
欲获得(b-2)/(a-1)的最大值，
b-2的值必须最大，即b-2=-2当b=0。
同时a-1的值必须最小，即a-1=-2当a=-1。
那么，(b-2)/(a-1)的最大值是1。
结论，(b-2)/(a-1)的范围是1/4<(b-2)/(a-1)<1。