Question

极坐标下交换积分次序怎么求解呀

你好，我想问一下结果中的arccosρ/2a是怎么来的?还有就是像这种交换极坐标次序有什么方法吗，谢谢

Answer 1

请仔细阅读，体会其中的解题思想：

追答

至于题中的区域，由于在r＝0与r＝2中间，区域边界被划成的两段曲线中，有一段上有“尖点”，当然要把原来的区域分成两个部分，即0≤r≤√2与√2≤r≤2两个部分。在每一部分上对应的cita的变化范围，相信你自己能够确定的。

追问

嗯，那arctanx那是怎么出来的，就是像sinx=x/r这样的式子

追答

没懂你最后这个问题，能说得更详细些吗？

追问

就是变换后的角度，的上限arccosρ/2a是怎么出来的

追答

因为圆的方程是p＝2acos(cita)，当然cita＝arccos(p/2a)喽

注意：在√(2)a≤p≤2a范围内，cita是从下半圆周对应的cita值变到上半圆周对应的cita值，这就是为什么下限带负号而上限不带的原因。

追问

懂了，谢谢大佬!

追答

不客气。没什么大佬😁

Answer 2

未交换坐标次序前，变量的取值范围是：-π/4<θ<π/2，0<ρ<2acosθ。而交换坐标次序，其实就是找出ρ的取出范围，并将θ的取值范围用ρ来表示。
首先，根据上式可以先求出ρ的取值范围，即0<ρ<2a。然后将0<ρ<2acosθ变形为cosθ<ρ/2a，当0<ρ/2a<根号2/2时，-π/4<θ<arccosρ/2a；当根号2/2<ρ/2a<2a时，-arccosρ/2a<θ<arccosρ/2a。