Question

求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解

1.dy/dx-2y/（x+1）=(x+1)^3
2.xy‘-2y=x^3e^x，当x=1时，y=0

Answer 1

1.dy/dx-2y/（x+1）=0，
dy/y=2dx/(x+1),
lny=2ln(x+1)+lnc,
y=c(x+1)^2.
设y=(x+1)^2c(x)是dy/dx-2y/（x+1）=（x+1)^3的解，则
y'=2(x+1)c(x)+(x+1)^2*c'(x),代入上式得
c'(x)=x+1,
c(x)=(1/2)x^2+x+c,
所以y=(x+1)^2*[(1/2)x^2+x+c].
2..xy‘-2y=x^3e^x,
仿上，设它的解为y=x^2*c(x),则y'=2xc(x)+x^2c'(x),代入上式得
c'(x)=e^x,
所以c(x)=e^x+c,
y=x^2(e^x+c),
x=1时y=0,所以0=e+c,c=-e.
所以y=x^2(e^x-e).

Answer 2

过程rt所示，希望写的清楚明白