Question

设是由平面x+y+z=1及三坐标平面围成的区域,则∫∫∫(x+2y+3z)dxdydz？

请问第二种方法画波浪线部分是如何转化的，谢谢！！！

Answer 1

空间是原点为顶点，（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）为顶点的三角形底，一个直角三棱锥。
x=0~1，y=0~x，z=0~1-x-y
由于x，y，z轮换对称（无差别），
∫∫∫（D）（x+2y+3z）dxdydz
=∫∫∫（D）（y+2z+3x）dxdydz
=∫∫∫（D）（z+2x+3y）dxdydz
=A
三个加起来：
3A=∫∫∫（D）（6x+6y+6z）dxdydz
=6∫∫∫（D）（x+y+z）dxdydz
注意，x+y+z=1，只是区域的一个底上的点满足的方程，不能用1代x+y+z。
x，y，z无差别（轮换对称），所以：
A=2∫∫∫（D）（3x）dxdydz
=6∫∫∫（D）xdxdydz
=6∫(0,1)xdx∫(0,x)dy∫(0,1-x-y)dz

追问

打扰了，我想问的是图中第二种做法？

追答

如图所示。