Question

高等数学第10题和第4题，求解

如图

Answer 1

这是过程

Answer 2

(10). 求微分方程 y'-xy'=a(y²+y')的通解
解：(1-x-a)y'=ay²； 分离变量得：dy/y²=[a/(1-a-x)]dx;
积分之得：-1/y=-a∫d(1-a-x)/(1-a-x)=-aln∣1-a-x∣+lnc=-aln[c∣1-a-x∣]
∴通解为：y=1/[alnc(1-a-x)];
(2). 求微分方程 y²+x²y'=xyy'的通解
解：两边同除以x²得：(y/x)²+y'=(y/x)y'； 即有[(y/x)-1]y'=(y/x)²..........①
令y/x=u，则y=ux； y'=u'x+u；代入①式得：(u-1)(u'x+u)=u²;
(u-1)u'x=u；分离变量得：[(u-1)/u]du=dx/x；积分之得：∫[1-(1/u)]du=∫dx/x;
故得 u-lnu=lnx+lnc=lncx；即有 u=ln(cxu)；代入u=y/x，即得通解：y/x=ln(cy);