Question

设函数f（x）在[a，b]上二阶可导，且f（a）=f（b）=0，令F（x）=（x-a）f（x）

设函数f（x）在[a，b]上二阶可导，且f（a）=f（b）=0，令F（x）=（x-a）f（x），证明：在（a，b）内至少存在一点ζ，使得F''（ζ）=0

Answer 1

应该由零点定理证明： 1）如果f(a)=f(b) 则ε可以取a或者b； 2）不妨设为f(a)>f(b); 令F（x）=f(x)-[f(a)+f(b)]/2; 于是 F(a)=f(a)-[f(a)+f(b)]/2=[f(a)-f(b)]/2>0; F(b)=f(b)-[f(a)+f(b)]/2=[f(b)-f(a)]/2<0; 所以存在ε∈（a,b）；使得F(ε)=0; 即f(ε)-[f(a)+f(b)]/2=0；f(ε)=[f(a)+f(b)]/2；综上至少存在一点ε∈[a,b],使f(ε)=[f(a)+f(b)]/2

追问

题目不一样