Question

高数，泰勒公式

第三第四题，画红线的几步之间是怎么转换过去的？有个等价无穷小怎么算？

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Answer 1

第3和4题，均是应用了两次展开式而间接展开的。以第3题为例，详细描述如下，第4题仿此。
视“sinx”为整体，按e^sinx展开，而后再按sinx的展开式展开，合并同类项即可。其中，涉及到的高阶无穷小量表达式，将其作为整体参加“运算”即可。
对f(x)=e^sinx。令t=sinx，∴e^t=1+t+t²/(2!)+t³/(3!)+……①。t=sinx=x-x³/(3!)+O(x³)。
∴t²=[x-x³/(3!)+O(x³)]²=[x-x³/(3!)]²+2[x-x³/(3!)]O(x³)+O²(x³)。显然，2[x-x³/(3!)]O(x³)+O²(x³)是比“O(x³)”更高的无穷小量。故，在只精确到O(x³)时，略去。同理，计算t³、…t^n即可，
这样计算后，代入①可得f(x)的展开式。
供参考。

Answer 2

同济大学高数上册，第三章第三节。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
扩展资料：
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
参考资料来源：百度百科-泰勒公式