Question

已知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范围？

Answer 1

x+2y≥2√(x×2y)=2√2√(xy)
30=x＋2y＋xy≥2√2√(xy)+xy
所以xy+2√2√(xy)-30≤0，
令a=√(xy),显然a≥0：
a²+(2√2)a-30≤0
解得0≤a≤3√2
xy=a²≤(3√2)²=18
当且仅当x=2y即x=6
y=3时等号成立
因为x>0,y>0，所以xy的取值范围是（0，18］

Answer 2

x+2y≥2√(x×2y)=2√2√(xy)
30=x＋2y＋xy≥2√2√(xy)+xy
所以xy+2√2√(xy)-30≤0，
令a=√(xy),显然a≥0：
a²+(2√2)a-30≤0
解得0≤a≤3√2
xy=a²≤(3√2)²=18
当且仅当x=2y即x=6
y=3时等号成立。
所以xy的取值范围是（负无穷，18]