Question

高中平面向量

在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则向量OA*(向量OB+向量OC)的最小值是多少?
我要具体步骤

Answer 1

根据OB和OC做平行四边形OBNC。
则向量ON=向量OB+向量OC。
在平行四边形OBNC里，向量ON=2倍OM，且向量ON与向量OA反向。
向量OA*(向量OB+向量OC)=向量OA*向量ON=OA*ON*COS(180度)=-OA*ON
设OA=x，om=2-x，on=4-2x。
上式=x*(4-2x)
因为原式为负值。所以要求x*(4-2x)的最大值。x=1，x*(4-2x)=2。
所以原题所求最小值为-2。

Answer 2

△OBC构成平行四边形的一半，OM为中线，所以向量OB+向量OC=2向量OM
向量OA*(向量OB+向量OC)=向量OA*2向量OM=x*2*(2-x)=-2x^2+4x
当x=1时，最小值为-2