Question

设f（x）在[0，1]上连续，证明:∫[0，pi]xf（sinx）dx=pi∫[0，pi/2]？

f（sinx）dx详细过程

Answer 1

详细过程是，①设x=π-t。∴∫(0,π)xf(sinx)dx=∫(0,π)(π-t)f(sint)dt=π∫(0,π)f(sint)dt-∫(0,π)tf(sint)dt。∴∫(0,π)xf(sinx)dx=(π/2)∫(0,π)f(sinx)dx。
②，∫(0,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(sinx)dx+∫(π/2,π)f(sinx)dx。对后一个积分，再令x=π-y。∴∫(π/2,π)f(sinx)dx=∫(0,π/2)f(siny)dy。∴∫(0,π)f(sinx)dx=2∫(0,π/2)f(sinx)dx。
∴∫(0,π)xf(sinx)dx=π∫(0,π/2)f(sinx)dx。
供参考。