Question

在三角形ABC中sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC,试判断三角形的形状

Answer 1

证:
∵△abc为锐角三角形,∴a+b>90°
得a>90°-b
∴sina>sin(90°-b)=cosb,即
sina>cosb,同理可得
sinb>cosc,
sinc>cosa
上面三式相加:sina+sinb+sinc>cosa+cosb+cosc
所以在锐角三角形abc中,求证sina+sinb+sinc＞cosa+cosb+cosc，得证

Answer 2

原式:sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC，
其中sinA=sin(B+C)=2sin[(B+C)/2]cos[(B+C)/2]，
原式和差化积:4sin[(B+C)/2]cos[(B+C)/2]*cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]=2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]，化简得2cos²[(B+C)/2]=1，或2cos[(B+C)/2]-1=0，
就是cos(B+C)=0，所以B+C=90°，则A=90°，△ABC是直角三角形，且A是直角。