Question

△ABC中,cotA,cotB,cotC成等差数列，求证a2,b2,c2也成等差数列

Answer 1

证明：cotA,cotB,cotC成等差数列
即cosB/sinB-cosA/sinA=cosC/sinc-cosB/sinB
余弦定理：cosA=(b∧2+c∧2-a∧2)/(2bc)
cosB=(a∧2+c∧2-b∧2)/(2ac)
cosC=(b∧2+a∧2-c∧2)/(2ba)
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
左边=(a∧2+c∧2-b∧2)/(2ac)*a/(b*sinA)-(b∧2+c∧2-a∧2)/(2bc)*b/(a*sinB)
由于：三角形面积S=absinC/2=acsinB/2=bcsinA/2
所以左边=(a∧2-b∧2)/(4S)
同理右边=(b∧2-c∧2)/(4S)
所以a∧2-b∧2=b∧2-c∧2
所以a∧2、b∧2、c∧2成等差数列