Question

顺次连接任意四边形中点所得的四边形一定是什么？

Answer 1

依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的面积为原四边形面积的一半。
证明：
1不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形
设有一任意四边形abcd，ab中点为e,bc中点f，cd中点为g，ad中点h，连接四边形efgh，则四边形efgh为中点四边形
∵△abd中，e，h是ab和ad中点
∴eh是△abd的中位线
∴eh∥bd，eh＝1/2bd
同理fg∥bd，fg＝1/2bd
∴eh∥fg，eh＝fg
∴平行四边形ehgf
∴任意四边形的中点四边形的形状都是平行四边形
2中点四边形的面积为原四边形面积的一半。
设四边形abcd，ab，bc，cd，da的中点分别是e，f，g，h
连接四边形的两条对角线ac，bd交与点o
连接eo，fo，go，ho
在三角形abd中eh是中位线，与ac交与点p
所以
eh//bd
所以
ap/po=ae/eb=1，即ap=po
在三角形aeo中
s三角形epo=1/2s三角形aeo
同理：s三角形hpo=1/2s三角形aho
……
四边形efgh的八个小三角形都是对应三角形面积的二分之一
所以
四边形efgh的面积是四边形abcd面积的二分之一
即顺次连接任意四边形各边中点所成的四边形面积是原四边形面积的二分之一
特殊情况：
（1）
如果该四边形对角线互相垂直（可得出有一角为90度），则中点四边形为矩形，如菱形的中点四边形是矩形。
（2）
如果该四边形对角线互相相等（可得出有一组邻边相等），则中点四边形为菱形，如矩形的中点四边形是菱形。
（3）
如果该四边形对角线互相垂直且相等，则中点四边形为正方形，如正方形的中点四边形是正方形。