Question

怎么证明顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形的面积一定是原来的四边形面积一半

Answer 1

连接两条对角线，两个四边形中的四个三角形依次是大四边形所连对角线划出的四个三角形的1/4,又因为四个大三角形面积相加是2个四边形 ，所以四个小三角形是四边形的1/2，则证得里面剩下的四边形的面积是原来四边形的一办
连接两条对角线，两个四边形中的四个三角形依次是大四边形所连对角线划出的四个三角形的1/4,又因为四个大三角形面积相加是2个四边形 ，所以四个小三角形是四边形的1/2，则证得里面剩下的四边形的面积是原来四边形的一办
在任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。连接EF、FG、GH、HE形成四边形EFGH。
连接B、D（对角线），设：h为△ABD的高，S△ABD=1/2h×(BD)
在△AEH中 EH=1/2（BD） h′=1/2h
S△AEH=1/2h′EH=1/4h×1/2(BD)=1/8h(BD)
S△AEH=1/4 S△ABD
同理：S△CFG=S1/4△CBD
S△AEH+S△CFG=1/4 S△ABD+1/4 S△CBD=1/4 S四边形ABCD(四边形ABCD的面积的四分之一）
同理：S△EFB+S△HGD=1/4 四边形ABCD的面积
所以四个三角形的面积和是四边形ABCD的面积的二分之一；
所以四边形EFGH的面积是四边形ABCD的面积的二分之一。作任意四边形ABCD的各边中点EFGH,分别连接EF，FG，GH，EH成新四边形EFGH。
作辅助线AC。
在ΔABC中：ΔEBF∽ΔABC
EF=AC/2，HΔEBF=HΔABC/2 (H为对应三角形的高）
SΔEBF=SΔABC/4 (S为对应三角形的面积)
在ΔADC中：ΔGDH∽ΔADC
GH=AC/2，HΔGDH=HΔADC/2 (H为对应三角形的高）
SΔGDH=SΔADC/4 (S为对应三角形的面积)
S(ABCD)=SΔABC+SΔADC
SΔEBF+SΔGDH=SΔABC/4+SΔADC/4=S(ABCD)/4

作辅助线BD。同理可证：
SΔEAH+SΔFCG=SΔBAD/4+SΔBCD/4=S(ABCD)/4
S(EFGH)=S(ABCD)-（SΔEBF+SΔGDH+SΔEAH+SΔFCG）
=S(ABCD)-（S(ABCD)/4+S(ABCD)/4）
=S(ABCD)/2

Answer 2

连接两条对角线，两个四边形中的四个三角形依次是大四边形所连对角线划出的四个三角形的1/4,又因为四个大三角形面积相加是2个四边形 ，所以四个小三角形是四边形的1/2，则证得里面剩下的四边形的面积是原来四边形的一办

Answer 3

连接两条对角线，两个四边形中的四个三角形依次是大四边形所连对角线划出的四个三角形的1/4,又因为四个大三角形面积相加是2个四边形 ，所以四个小三角形是四边形的1/2，则证得里面剩下的四边形的面积是原来四边形的一办

没图，全是文字，不知道看懂了么

Answer 4

作任意四边形ABCD的各边中点EFGH,分别连接EF，FG，GH，EH成新四边形EFGH。
作辅助线AC。
在ΔABC中：ΔEBF∽ΔABC
EF=AC/2，HΔEBF=HΔABC/2 (H为对应三角形的高）
SΔEBF=SΔABC/4 (S为对应三角形的面积)
在ΔADC中：ΔGDH∽ΔADC
GH=AC/2，HΔGDH=HΔADC/2 (H为对应三角形的高）
SΔGDH=SΔADC/4 (S为对应三角形的面积)
S(ABCD)=SΔABC+SΔADC
SΔEBF+SΔGDH=SΔABC/4+SΔADC/4=S(ABCD)/4

作辅助线BD。同理可证：
SΔEAH+SΔFCG=SΔBAD/4+SΔBCD/4=S(ABCD)/4
S(EFGH)=S(ABCD)-（SΔEBF+SΔGDH+SΔEAH+SΔFCG）
=S(ABCD)-（S(ABCD)/4+S(ABCD)/4）
=S(ABCD)/2
证毕。

Answer 5

在任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。连接EF、FG、GH、HE形成四边形EFGH。
连接B、D（对角线），设：h为△ABD的高，S△ABD=1/2h×(BD)
在△AEH中 EH=1/2（BD） h′=1/2h
S△AEH=1/2h′EH=1/4h×1/2(BD)=1/8h(BD)
S△AEH=1/4 S△ABD
同理：S△CFG=S1/4△CBD
S△AEH+S△CFG=1/4 S△ABD+1/4 S△CBD=1/4 S四边形ABCD(四边形ABCD的面积的四分之一）
同理：S△EFB+S△HGD=1/4 四边形ABCD的面积
所以四个三角形的面积和是四边形ABCD的面积的二分之一；
所以四边形EFGH的面积是四边形ABCD的面积的二分之一。