Question

20.关于解不等式的题！！！！！！

已知a,b∈R＋且a≠b,求证：a^4+b^4>a³b+ab³.

Answer 1

a^4+b^4-a³b-ab³
=a^3(a-b)+b^3(b-a)
=(a^3-b^3)(a-b)
=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)
=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)>0

所以 a^4+b^4>a³b+ab³.

Answer 2

(a^4+b^4)-(a^3b+ab^3)
=(a^4-a^3b)+(b^4-ab^3)
=a^3(a-b)+b^3(b-a)
=a^3(a-b)-b^3(a-b)
=(a-b)(a^3-b^3)
=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)
=(a-b)^2[(a-b)^2+3ab]

a,b∈R＋且a≠b
则ab>0且a-b≠0
(a-b)^2>0
(a-b)^2+ab>0
(a-b)^2[(a-b)^2+ab]>0

(a^4+b^4)-(a^3b+b^3a)>0

a^4+b^4>a^3b+b^3a

Answer 3

证明：
a^4+b^4-a³b-ab³
=a^4-a³b+b^4-ab³
=a^3(a-b)+b^3(b-a)
=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)
因为(a-b)^2>0,(a^2+ab+b^2)>0
所以(a-b)^2(a^2+ab+b^2)>0
所以 a^4+b^4>a³b+ab³