1/1²+1/2²+1/3²+……+1/n²=
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n趋于正无穷时,等于6分之π^2
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sinx泰勒展开=x–x^3/3！+x^5/5！–……
我们知道x=kπ(k∈Z)时，sinx=0
sinx也可以写成sinx=x(1–x/π)(1+x/π)[1–x/(2π)][1+x/(2π)]……[1–x/(nπ)][1+x/(nπ)]
=x(1–x²/π²)[1–x²/(4π²)]……[1–x²/(n²π²)]
含x³项的系数=–1/π² (1/1²+1/2²+……+1/n²)=–1/3！
所以1/1²+1/2²+……+1/n²=π²/3！=π²/6
我们知道x=kπ(k∈Z)时，sinx=0
sinx也可以写成sinx=x(1–x/π)(1+x/π)[1–x/(2π)][1+x/(2π)]……[1–x/(nπ)][1+x/(nπ)]
=x(1–x²/π²)[1–x²/(4π²)]……[1–x²/(n²π²)]
含x³项的系数=–1/π² (1/1²+1/2²+……+1/n²)=–1/3！
所以1/1²+1/2²+……+1/n²=π²/3！=π²/6
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