Question

第一换元法根号下

用第一换元法求不定积分
∫ (1-X)/根号(4-9X^2) dx
注意,是第一换元法哦!
如果是带公式，该怎么带。

Answer 1

∫ (1 - x)/√(4 - 9x²) dx
= ∫ dx/√(4 - 9x²) - ∫ x/√(4 - 9x²) dx,第二个积分,令u = 4 - 9x²,du = - 9x dx
= ∫ dx/√[9(4/9 - x²)] - ∫ x/√u * du/(- 9x)
= (1/3)∫ dx/√[(2/3)² - x²] + (1/9)∫ 1/√u du
= (1/3)arcsin[x/(2/3)] + (1/9) * 2√u + C
= (1/3)arcsin(3x/2) + (2/9)√(4 - 9x²) + C
公式：∫ dx/√(a² - x²) = arcsin(x/a)
这个公式只要你做个像这样的形式就可以了
例如上面的∫ dx/√(4 - 9x²) = (1/3)∫ dx/√[(2/3)² - x²]
这里的a = 2/3,而x依然是x,将这些数据代入arcsin(x/a)可以了
注意这个∫ dx/√(4 - 9x²)是必须要用第二换元法才能求得,否则就是直接代公式了.
因为这个公式本来就是由第二换元法推导来的.