Question

高一数列题目

等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+√2,S3=9+3√2.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn
(2)设bn=Sn/n(n∈N*),求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列

Answer 1

1。
S3=(a1+a3)*3/2=(a1+a1+2d)*3/2=2(a1+d)*3/2=2a2*3/2=3a2=9+3√2
所以a2=3+√2
d=a2-a1=2
所以an=a1+2(n-1)=√2-1+2n

Sn=(a1+an)*n/2=(2√2+2n)*n/2=n^2+√2n

2。
bn = Sn/n = n+√2
用反证法证明
假设bn中有不同的三项成等比数列，分别是第p,q,r
则 bp * br = bq * bq
即 (p+√2)(r+√2) = (q+√2)(q+√2)
pr + 2 + (p+r)√2 = q*q + 2 + 2q*√2
因为p,q,r都是正整数，而√2是无理数
所以有
pr = q*q
p + r = 2q
消去q , 得
(p-r)^2 = 0
解得 p = r
这与假设矛盾
所以任意不同的三项都不可能成为等比数列

祝楼主学习愉快

Answer 2

设公差是d,则S3=3a1+3d=3(3+√2)
解得d=2,an=1+√2+2n-2=2n-1+根号2
Sn=n(1+根号2)+n(n-1)
(2)解得bn=1+根号2+n-1=根号2+n
假设可以组成等差，设为bi,bj,bk
bibk=bjbj
(bi-bk)^2=0矛盾所以不存在