Question

高一数列题

1，（1+2），（1+2+4），。。。。，（1+2+4+。。。。。+2^（n+1））
前n项和为（ ）

Answer 1

解法如下。
第一步，容易求出数列的通项为：a(n)=2^(n+1)-1
第二步，令前n项的和为S(n)，则：S(n)=1+(1+2)+...+(2^n-1)
（说明：这里总共有n项,从a(0)=1到a(n-1)=2^n-1，即是数列的前n项）
第三步，对上面的等式两边同乘以2，得：2S(n)=0+2+2(1+2)+...+2(2^n-1)
（说明：配上一个0后，这里总共有n+1项）
第四步，将第三步得到的式子与第二步得到的式子对应项相减（不补那个0的话，相减的项是错开的），得：S(n)=-1+(-1)+...+(-1)+2(2^n-1)（说明：共有n个-1）,所以S(n)=2^(n+1)-n-2

追问

问一下，“第一步，容易求出数列的通项为：a(n)=2^(n+1)-1”
n=1时，a(1)=3，不是应该等于1吗？
还有，“a(0)=1”，n应该为大于等于1的整数啊。

追答

说明一下。既可以把数列的起始项当做a(0)，也可以当做a(1)，我上面的通项是把a(0)当做起始项，即：a(n)=2^(n+1)-1，n=0,1,2,...（你们的教材没有强制说数列的第一项一定要叫做a(1)的吧）。当然你也可以把a(1)=1当做起始项，这样的话通项稍有差别。这样一解释，我想你上面的两个问题应该解决。