Question

已知定义在(0,+无穷)上的函数f(x)对任意x属于(0,+无穷),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当

已知定义在（0，+无穷）上的函数f(x)对任意x属于（0，+无穷），恒有f（xy）=f（x）+f（y）,且当0＜x＜1时，f（x）＞0，证明：f（x）在（0，+无穷）上单调递减

Answer 1

由条件，知
f(1*x)=f(1)+f(x),推出：f(1)=0.
又对于x>0,有f(1)=f(x/x)=f[x*(1/x)]=
f(x)+f(1/x)=0,
知：f(x)+f(1/x)=0,即f(x)=-f(1/x).
又由：且当0＜x＜1时，f（x）＞0，
知：当x>1时f(x)=-f(1/x)< 0.

由此，对于任意0<x1<x2,由于[(x1)/(x2)]<1,
故f((x1)/(x2))>0,
即：f((x1)/(x2))=f[(x1)*(1/x2)]=
f(x1)+f(1/(x2))
=f(x1)-f(x2)>0.
即：0<x1<x2 时
有f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)
按定义知:f(x) 在（0，+无穷）上单调递减。
证毕。