Question

定义在0到正无穷上的函数f(x)满足f（x）+f（y）=f (xy),x>1时,f(x)<0

若不等式f(√x²+y²)<=f(√xy)+f(a)对任意x,y属于0到正无穷恒成立，则a的范围是？

Answer 1

设0<a<b
f(b)-f(a)=f(b/a)
因为0<a<b，所以b/a>1，所以f(b/a)<0
f(b)<f(a)
所以f(x)在x>0上是严格单调递减函数
f(a)>=f(√x^2+y^2)-f(√xy)
=f(√[(x^2+y^2)/xy])
因为这个不等式在定义域内恒成立，且f(x)是严格递减函数
所以f(a)恒>=f(√[(x^2+y^2)/xy])的最大值
因为√[(x^2+y^2)/xy]>=√(2xy/xy) 当且仅当x=y时等号成立
f(√[(x^2+y^2)/xy])<=f(√(2xy/xy))=f(√2)
即f(√[(x^2+y^2)/xy])的最大值为f(√2)
所以f(a)恒>=f(√2)
即0<a<=√2

Answer 2

设0
1，所以f(b/a)<0
f(b)
0上是严格单调递减函数
f(a)>=f(√x^2+y^2)-f(√xy)
=f(√[(x^2+y^2)/xy])
因为这个不等式在定义域内恒成立，且f(x)是严格递减函数
所以f(a)恒>=f(√[(x^2+y^2)/xy])的最大值
因为√[(x^2+y^2)/xy]>=√(2xy/xy)
当且仅当x=y时等号成立
f(√[(x^2+y^2)/xy])<=f(√(2xy/xy))=f(√2)
即f(√[(x^2+y^2)/xy])的最大值为f(√2)
所以f(a)恒>=f(√2)
即0
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Answer 3

0<a<=√2 楼下确实是正解