Question

高数导数问题 如图为什么？

Answer 1

对于f(x)=|(x-a)^k|，很显然若k为偶数，f(x)在x=a可导
若k为奇数，
比如k=3,f(x)=|(x-a)^3|,
f'(a-)=lim(x->a-)[-(x-a)^3]'=lim(x->a-)-3(x-a)^2=0
f'(a+)=lim(x->a+)[(x-a)^3]'=lim(x->a+)3(x-a)^2=0
而对于k=1,f(x)=|x-a|
f'(a-)=lim(x->a-)[-(x-a)]'=-1
f'(a+)=lim(x->a+)[(x-a)]'=1
通过这些计算可以发现，k=1时f(x)不可导是因为其幂次从1次降到0次了

Answer 2

先说结论，可导函数f(x)中f(x)≠0的点在函数|f(x)|中依然可导，所以只考虑可导函数f(x)的零点，零点中只有导数不为0的点会成为函数|f(x)|的不可导点，比如f(x)＝x，f(0)＝0，导数f'(0)＝1，取绝对值后，x＝0处不可导因为左右导数不相等。

对于导数为0的零点，取绝对值后依然可导，例如f(x)＝x³的x＝0，和取绝对值不变的f(x)＝x²的x＝0，

那么看看这个题目，先考虑不带绝对值的函数f(x)＝(x－1)(x－2)²…(x－2018)的2018次幂，这个函数处处可导，f(1)＝f(2)＝…f(2018)＝0，导数f'(x)＝(x－1)的导数×剩下的不含(x－1)的乘积＋(x－2)²的导数×剩下的不含(x－2)²的乘积＋…(x－2018)的2018次幂的导数×剩下的不含(x－2018)的2018次幂的乘积，可以看出f'(1)≠0，f'(2)＝f'(3)＝…＝f'(2018)＝0，所以只有x＝1处不可导。上面用到了多个函数乘积的一阶导数公式：(abcd…)' = a'bcd… + ab'cd …+abc'd …+ abcd'…＋…。

追答

答题不易，满意请采纳，谢谢