Question

证明ax平方+bx+c=0有两个实数根的充要条件是b平方减4ac大于等于0,

证明ax平方+bx+c=0有两个实数根的充要条件是b平方减4ac大于等于0,

Answer 1

ax^2+bx+c=0,（a不等于0）
①从充要性讲,
a(x^2+(b/a)x)+c=0
a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c=0
a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a
(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
注意,左边是一个完全平方式.
故,要满足两根,就必须有右边大于等于0
所以有,(b^2-4ac)/4a^2>=0,
又因为,4a^2>0,
所以咯,b^2-4ac>=0,这就是所谓的判别式.
通过判别式再逆推,就可证明必要性了,就不想说了.
自己可以试一下的哦.

Answer 2

反证法：假设结论不成立，即：ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b^2-4ac≤0
证明：
ax^2+bx+c=0
—>x^2+b/ax+c/a=0
—>x^2+b/ax+[b/(2a)]^2=-c/a+[b/(2a)]^2
—>[x+b/(2a)]^2=(b^2-4ac)/(4a^2)
因为方程要有根，所以上式当左右两边同时开方时要成立，即等号右边要大于或等于0，而4a^2大于0
—>b^2-4ac≥0
①
解出方程的根分别为：
x1=根号[(b^2-4ac)/(4a^2)]-b/(2a)、x2=-根号[(b^2-4ac)/(4a^2)]-b/(2a)
而这两个根不相等，列出不等式x1≠x2
—>2*根号[(b^2-4ac)/(4a^2)]≠0
—>(b^2-4ac)/(4a^2)≠0
—>b^2-4ac≠0
②
—>联立①②式，得出b^2-4ac>0
得假设不成立，所以原题目的结论成立
即：
ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则b^2-4ac>0
附：x^2表示x的平方