Question

已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R．（1）当a=2时，求函数f（x）...

已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R． （1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程； （2）若函数f(x)-ax+m=0在[1e，e]上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围； （3）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（px1+qx2）＜0（其中实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1）

Answer 1

解：（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x2+2x，
f′(x)=2x-2x+2，切点坐标为（1，1），切线的斜率k=f'（1）=2，
则切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1．（2分）
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x2+m=0，
令g（x）=2lnx-x2+m，则g′(x)=2x-2x=-2(x+1)(x-1)x，
因为x∈[1e，e]，故g'（x）=0时，x=1．
当1e＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．
故函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m-1，（4分）
又g(1e)=m-2-1e2，g（e）=m+2-e2，
g(e)-g(1e)=4-e2+1e2＜0，则g(e)＜g(1e)，
故函数g（x）在[1e，e]上的最小值是g（e）．（6分）
方程f（x）-ax+m=0在[1e，e]上有两个不相等的实数根，则有g(1)=m-1＞0g(1e)=m-2-1e2≤0
解得1＜m≤2+1e2，故实数m的取值范围是(1，2+1e2]．（8分）
（3）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），2lnx-x2+ax=0的两个根为x1，x2，
则2lnx1-x21+ax1=02lnx2-x22+ax2=0两式相减得a=(x1+x2)-2(lnx1-lnx2)x1-x2，f（x）=2lnx-x2+ax，f′(x)=2x-2x+a，
则f′(px1+qx2)=2px1+qx2-2(px1+qx2)+a=2px1+qx2-2(px1+qx2)+(x1+x2)-2(lnx1-lnx2)x1-x2
=2px1+qx2-2(lnx1-lnx2)x1-x2-(2p-1)x1-(2q-1)x2
=2px1+qx2-2(lnx1-lnx2)x1-x2+(2p-1)(x2-x1)．（*）（10分）
∵0＜p≤q，p+q=1，则2p≤1，又0＜x1＜x2，∴（2p-1）（x2-x1）≤0，
下证2px1+qx2-2(lnx1-lnx2)x1-x2＜0，即证明x2-x1px1+qx2+lnx1x2＜0．
令t=x1x2，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，
即证明u(t)=1-tpt+q+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，（12分）
∵u′(t)=1t-1(pt+q)2=p2t2+(2pq-1)t+q2t(pt+q)2=p2t2-t(p2+q2)+q2t(pt+q)2=p2(t-1)(t-q2p2)t(pt+q)2，
∵0＜p≤q，∴q2p2≥1，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知x2-x1px1+qx2+lnx1x2＜0，
故（*）＜0，即f'（px1+qx2）＜0成立．（14分）