Question

已知函数f(x)=alnx-x2，函数f(x)在x=1处取得极值.(1)求实数a...

已知函数f(x)=alnx-x2，函数f(x)在x=1处取得极值. (1)求实数a的值; (2)函数g(x)=f(x)-mx的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)，且0＜x1＜x2，又g′(x)是函数g(x)的导函数，证明:g′(x1+x22)＜0.

Answer 1

解答:(1)解:∵f(x)=alnx-x2，
∴f′(x)=
a
x
-2x，
∵函数f(x)在x=1处取得极值，
∴f′(1)=a-2=0，
∴a=2;
(2)证明:g(x)=f(x)-mx=2lnx-x2-mx，
∴g′(x)=
2
x
-2x-m，
∵函数g(x)=f(x)-mx的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)，
∴2lnx1-x12-mx1=0，2lnx2-x22-mx2=0，
两式相减可得2ln
x1
x2
-(x1+x2)(x1-x2)-m(x1-x2)=0
∴x1+x2+m=
2ln
x1
x2
x1-x2
，
g′(
x1+x2
2
)=
4
x1+x2
-(x1+x2+m)=
4
x1+x2
-
2ln
x1
x2
x1-x2
，
要证g′(
x1+x2
2
)＜0，
即证
4
x1+x2
-
2ln
x1
x2
x1-x2
＜0，
即证
2(x1-x2)
x1+x2
＞ln
x1
x2
，
即证
2(
x1
x2
-1)
x1
x2
+1
-ln
x1
x2
=2-
4
x1
x2
+1
-ln
x1
x2
＞0…①，
令
x1
x2
=t，则0＜t＜1，
令h(t)=2-
4
t+1
-lnt，
则h′(t)=
4
(t+1)2
-
1
t
，
由h′(t)=0得，t=1，
∴当0＜t＜1时h′(t)＜0，h(t)单调递减，
∴h(t)＞h(1)=0，
∴①式得证.