Question

高中数学三角函数已知θ∈ (0,π),sinθ+cosθ=(√3-1)/2,则tanθ的值为

已知θ∈ (0,π),sinθ+cosθ=(√3-1)/2,则tanθ的值为
详细点，看不懂

Answer 1

两边平方，

(sinA+cosA)²=(4-2√3)/4

展开得1+2sinAcosA=(4-2√3)/4

左边上下（就是相当于除以1，用sin²A+cos²A代替分母）同除以cos²A，化成关于tanA的方程，解这个方程就行了。是不是-√3/2

我计算很挫，但是思路应该没问题

Answer 2

两边平方，得1+sin2θ=1-√3/2，得sin2θ=-√3/2

因为θ∈ (0,π),所以2θ∈ (0,2π),

所以2θ=4π/3或2θ=5π/3

所以θ=2π/3或θ=5π/6，

用sinθ+cosθ=(√3-1)/2判断一下可知，当θ=5π/6时，sinθ+cosθ=1/2-√3/2与题不符了

所以，θ只能取2π/3

所以tanθ=-√3

Answer 3

解：sinθ+cosθ=(√3-1)/2
则两边都平方得：（sinA+cosA)²=（2-√3）/2
即1+2sinθcosθ=（2-√3）/2
所以sin2θ=-√3/2
则2θ可能为4π/3或2θ=5π/3
即θ=2π/3或θ=5π/6
又因为当θ=5π/6时，sinθ+cosθ=(1-√3)/2，与题意不符，故舍去
所以θ=2π/3，则tanθ=tan（2π/3）=-√3
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Answer 4

sinθ+cosθ=√2cos(θ-π/4）=(√3-1)/2
cos(θ-π/4）=(√6-√2）/4
注意到cos5π/12=cos(π/4+π/6）=(√6-√2）/4
所以cos(θ-π/4）=cos(5π/12)
θ∈ (0,π),则 θ-π/4∈ (-π/4,3π/4),
所以 θ-π/4=5π/12，θ=2π/3
tanθ=tan2π/3=-tanπ/3=-√3 。

Answer 5

sinθ+cosθ=√2sin(θ+∏/4）=(√3-1)/2
sin(θ+∏/4）=(√6-√2）/4=sin13∏/12,θ=5∏/6
tan5∏/6=-√3/3