Question

行秩列秩一定相等吗?

Answer 1

矩阵的行秩和列秩，二者一定是相等的。

行秩和列秩通过进行计算之后得到的都是矩阵的秩，这是秩的基本性质和定理。

这个定义涉及到向量的极大线性无关组。设a1,a2……as为一个n维向量组，如果向量组中有r个向量线性无关，而任何r+1个向量都线性相关，那么这r个线性无关的向量称为向量组的一个极大线性无关组。

行秩列秩相等

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。