已知正整数n≥7,若(x-1/x)(1-x)ⁿ的展开式中不含x四次方的项,则n的值法?
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x∧4的组合有(1,3),(-1,5)
即x*Cn(3)*1∧(n-3)*(-x)³+(-1/x)*Cn(5)*1∧(n-5)*(-x)∧5=[Cn(5)-Cn(3)]x∧ 4
展开式中不含x∧ 4的项,说明x∧ 4的系数为零,即
Cn(5)-Cn(3)=0
n!/[5!(n-5)!]=n!/[3!(n-3)!]
3!(n-3)!=5!(n-5)!
(n-3)(n-4)=5*4=20
解得n=8(n=-1舍)
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(1–x)^n=C(n,0) +C(n,1) (–x)+C(n,2) (–x)²+……+C(n,n) (–x)^n
(x–1/x)(1–x)^n
=x–nx²+C(n,2) x³–C(n,3) x^4+……+C(n,n) x·(–x)^n–1/x+n–C(n,2)x+C(n,3) x²–C(n,4) x³+C(n,5) x^4+……+C(n,n) (–x)^(n–1)
由题得x^4项系数为零
那么C(n,5)–C(n,3)=0
C(n,5)=C(n,3)
n=8
(x–1/x)(1–x)^n
=x–nx²+C(n,2) x³–C(n,3) x^4+……+C(n,n) x·(–x)^n–1/x+n–C(n,2)x+C(n,3) x²–C(n,4) x³+C(n,5) x^4+……+C(n,n) (–x)^(n–1)
由题得x^4项系数为零
那么C(n,5)–C(n,3)=0
C(n,5)=C(n,3)
n=8
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