已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一:若xf'=(x+1)<=x^2+ax+1求a的取值范围二:证明(x-1)f(x)>=0
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一:若xf'=(x+1)<=x^2+ax+1求a的取值范围二:证明(x-1)f(x)>=0要有计算过程...
已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一:若xf'=(x+1)<=x^2+ax+1求a的取值范围二:证明(x-1)f(x)>=0
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已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.一:若xf'=(x+1)<=x^2+ax+1求a的取值范围二:证明(x-1)f(x)>=0
∵x≥e,∴x-1>0,
对所有的x∈[e,+ ∞)都有xf(x) ≥a(x-1)成立,
即要使a≤xf(x)/(x-1)对所有的x∈[e,+ ∞)都成立.
也就是要使a≤xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值.
设y=xlnx/(x-1),x∈[e,+ ∞)
对y求导,得y'=(x-lnx-1)/(x-1)²
设g(x)=x-lnx-1
对g(x)求导,得g'(x)=1-1/x
∵x≥e,∴g'(x)=1-1/x≥1-1/e>0,即g(x)是增函数
∴g(x)≥e-lne-1=e-2>0
∴y'=(x-lnx-1)/(x-1)²>0
∴y=xlnx/(x-1),在x∈[e,+ ∞)上是增函数
即有y=xlnx/(x-1)≥elne(e-1)=e/(e-1)
即xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值是e/(e-1)
∴a≥e/(e-1)
∵x≥e,∴x-1>0,
对所有的x∈[e,+ ∞)都有xf(x) ≥a(x-1)成立,
即要使a≤xf(x)/(x-1)对所有的x∈[e,+ ∞)都成立.
也就是要使a≤xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值.
设y=xlnx/(x-1),x∈[e,+ ∞)
对y求导,得y'=(x-lnx-1)/(x-1)²
设g(x)=x-lnx-1
对g(x)求导,得g'(x)=1-1/x
∵x≥e,∴g'(x)=1-1/x≥1-1/e>0,即g(x)是增函数
∴g(x)≥e-lne-1=e-2>0
∴y'=(x-lnx-1)/(x-1)²>0
∴y=xlnx/(x-1),在x∈[e,+ ∞)上是增函数
即有y=xlnx/(x-1)≥elne(e-1)=e/(e-1)
即xf(x)/(x-1)在x∈[e,+ ∞)上的最小值是e/(e-1)
∴a≥e/(e-1)
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f(x)=(x+1)Inx-x+1.
f(x)'=(x+1)/x+lnx-1=1/x+lnx
(1)
xf'(x)=1+xlnx≤x^2+ax+1
即xlnx≤x^2+ax 由题意知x>0
故不等式等价于lnx≤x+a a≥lnx-x
令t(x)= lnx-x
t(x)'=(1-x)/x 故x∈(0,1)为增函数,x∈(1,+∞)为减函数
即t(x)max= t(1)=-1
因此a≥-1
(2)
令F(X)=(x-1)f(x)
当x∈(0,1)时,f(x)'=1/x+lnx f(x)''=(x-1)/x^2 即x∈(0,1)时, f(x)''<0 故f(x)'为减函数
f(x)'min=f(1)'=1>0
故f(x)在x∈(0,1)时为增函数,f(x)max<f(1)=0
因此当x∈(0,1)时,F(X)=(x-1)f(x)>0
当x属于[1,+∞)时,f(x)'=1/x+lnx >0,f(x)为增函数
f(x)min≥f(1)=0
故x属于[1,+∞)时,F(X)=(x-1)f(x)>0
因此(x-1)f(x)≥0在x∈(0,+∞)均成立。
f(x)'=(x+1)/x+lnx-1=1/x+lnx
(1)
xf'(x)=1+xlnx≤x^2+ax+1
即xlnx≤x^2+ax 由题意知x>0
故不等式等价于lnx≤x+a a≥lnx-x
令t(x)= lnx-x
t(x)'=(1-x)/x 故x∈(0,1)为增函数,x∈(1,+∞)为减函数
即t(x)max= t(1)=-1
因此a≥-1
(2)
令F(X)=(x-1)f(x)
当x∈(0,1)时,f(x)'=1/x+lnx f(x)''=(x-1)/x^2 即x∈(0,1)时, f(x)''<0 故f(x)'为减函数
f(x)'min=f(1)'=1>0
故f(x)在x∈(0,1)时为增函数,f(x)max<f(1)=0
因此当x∈(0,1)时,F(X)=(x-1)f(x)>0
当x属于[1,+∞)时,f(x)'=1/x+lnx >0,f(x)为增函数
f(x)min≥f(1)=0
故x属于[1,+∞)时,F(X)=(x-1)f(x)>0
因此(x-1)f(x)≥0在x∈(0,+∞)均成立。
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证明:
(1)
f'(x)=(x+1)/x+lnx-1
xf'(x)=1+xlnx
xf'(x)≤x^2+ax+1
则x^2+ax-xlnx》0
a≥-x+lnx
令g(x)=-x+lnx
g'(x)=-1+1/x
g'(1)=0所以在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)为减函数
所以g(x)=-x+lnx≤-1 ,故g(x)=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1,
所以a≥-1
(2)
由(1)可得:lnx-x≤-1,即lnx-x+1≤0
当0<x<1 时,f(x)=xlnx+lnx-x+1<0,
当x≥1时,f(x)=xlnx+lnx-x+1
=lnx+(xlnx-x+1)
=lnx+x(lnx+ 1/x -1)
=lnx-x(ln1/x - 1/x +1)
≥0.
∴f(x)=xlnx+lnx-x+1=lnx+(xlnx-x+1)≥0
综上所述,(x-1)f(x)≥0
(1)
f'(x)=(x+1)/x+lnx-1
xf'(x)=1+xlnx
xf'(x)≤x^2+ax+1
则x^2+ax-xlnx》0
a≥-x+lnx
令g(x)=-x+lnx
g'(x)=-1+1/x
g'(1)=0所以在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)为减函数
所以g(x)=-x+lnx≤-1 ,故g(x)=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1,
所以a≥-1
(2)
由(1)可得:lnx-x≤-1,即lnx-x+1≤0
当0<x<1 时,f(x)=xlnx+lnx-x+1<0,
当x≥1时,f(x)=xlnx+lnx-x+1
=lnx+(xlnx-x+1)
=lnx+x(lnx+ 1/x -1)
=lnx-x(ln1/x - 1/x +1)
≥0.
∴f(x)=xlnx+lnx-x+1=lnx+(xlnx-x+1)≥0
综上所述,(x-1)f(x)≥0
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