Question

sin1/x是否连续?

Answer 1

函数y=sin(1/x)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是连续的。

理由：

分别考虑外层函数y=sinu&内层函数u=1/x。

显然u=1/x是初等函数，在(-∞,0)∪(0,+∞)上连续。

同样地，y=sinu也是初等函数，在R上连续。

从而根据复合函数的连续性定理，y=sin(1/x)在它的定义域上是连续函数了。

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积。

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

可微与连续的关系：可微与可导是一样的。

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积。

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。