Question

正定矩阵一定是实对称矩阵吗?

Answer 1

不一定是对称的。

正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称）。

因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内（实数域上是对称矩阵）。如果只是要求矩阵M有（x^T)Mx>0,那么任何矩阵M，只要其满足A=(M+M^T）／2，且（x^T)Ax>0,即可。例如，M=，A=。但如果M不是厄米特矩阵，一般不讨论他的正定性。

正定矩阵的特征方法：

1、 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。

2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU。

4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。

5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。