Question

第5课：容斥原理入门

Answer 1

本文收录至文集： 写给家长的思维训练课

容斥原理基本公式：

【问题1】

一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么，两种都喜欢吃的有多少人？

【解答】

由容斥原理基本公式可得：两种都喜欢吃的=36+20-50=6（人）

包含三个对象的容斥原理：

推而广之：

【问题2】

妈妈用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖。已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米、27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠部分为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，第一块和第三块重叠了4平方分米。如果三块重叠的部分等于2平方分米，那么这张桌子的面积是多少？

【解析】

利用公式可得：

即：

【总结】

1、对比问题1、2，容易发现，容斥原理适用范围很广，无论算术题还是几何题，题设只要符合容斥原理公式中每一部分的含义，就可以使用容斥原理解题

2、也可以尝试使用韦恩图（文试图）画图解题，实际上，图解法与公式法完全一致，前者更形象，后者更快捷，具体做题时应该灵活运用两种手段

【课后练习】

1、某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生。已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女生有多少人？

2、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球，那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？

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