Question

高中数学（急求）

已知三角形ABC中，角ACB=90度，CD垂直AB,且AD=1,BD=2,三角形ACD绕CD旋转至
A1CD,使A1与点B之间的距离A1B=根号3
求证： BA1垂直平面A1CD

Answer 1

未旋转前，〈ACB=90度，CD⊥AB，AB∩AC=A，
故CD⊥平面ABC，
因绕CD旋转，并未改变CD垂直平面ABC的状态，
A1B=√3，A1D=AD=1，BD=2，
根据勾股定理逆定理，三角形A1BD是直角三角形，
〈BA1D=90度，
即BA1⊥A1D，
CD⊥平面A1BC，
A1B∈平面A1BC，
CD⊥A1B，
A1D∩CD=D,
∴BA1⊥平面A1CD。

Answer 2

依题意得

因为有AB⊥CD,且三角形ACD绕CD旋转至A1CD, 所以有CD⊥面AA1B, 所以有CD⊥BA1 线线平行①

因为A1D=1,A1B=根号3,BD=2.三角形A1BD构成勾股数，所以BA1⊥A1D线线平行②

所以，综上，有两对线线平行，得出线面平行，所以，BA1⊥A1CD.

补充；关于 线线平行①的证明，需要楼主好好理解，我也拿不出严谨的证明过程。你可以再问一下你们老师。