Question

求曲率和曲率半径. 求抛物线Y=X^2上任意一点处的曲率和曲率半径.

Answer 1

抛物线$y=x^2$的导数为$2x$，二阶导数为$2$。因此，曲线在任意一点$(x, y)$处的曲率$k$可以通过以下公式计算：

$$k = \frac{|y''|}{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}$$

将$y=x^2$代入上式，得到：

$$k = \frac{2}{(1+(2x)^2)^\frac{3}{2}} = \frac{2}{(1+4x^2)^\frac{3}{2}}$$

此时我们可以通过计算曲率$k$的倒数，即曲率半径$r$来得到更方便的表示方式：

$$r = \frac{1}{k} = \frac{(1+4x^2)^\frac{3}{2}}{2}$$

因此，抛物线$y=x^2$上任意一点$(x, y)$处的曲率为$\frac{2}{(1+4x^2)^\frac{3}{2}}$，曲率半径为$\frac{(1+4x^2)^\frac{3}{2}}{2}$。