若x,y为正数,求证:(x+1/2y)^2+(y+1/2x)^2>=4
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证明:将原式化开可得
原式=x^2+x/y+1/(4y^2)+y^2+y/x+1/(4x^2)
=(x^2+1/(4x^2))+(y^2+1/(4y^2))+(x/y+y/x)
根据a^2+b^2>=2ab (a,b>=0)可知
x^2+1/(4x^2)>=2（x^2*1/(4x^2））^0.5=1,
同理y^2+1/(4y^2)>=1
x/y+y/x>=2(x/y*y/x)^0.5=2
所以三式相加可知原式成立
原式=x^2+x/y+1/(4y^2)+y^2+y/x+1/(4x^2)
=(x^2+1/(4x^2))+(y^2+1/(4y^2))+(x/y+y/x)
根据a^2+b^2>=2ab (a,b>=0)可知
x^2+1/(4x^2)>=2（x^2*1/(4x^2））^0.5=1,
同理y^2+1/(4y^2)>=1
x/y+y/x>=2(x/y*y/x)^0.5=2
所以三式相加可知原式成立
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