Question

齐次线性方程组与非齐次线性方程组有什么区别？

Answer 1

非齐次线性方程组存在两个不同解是指存在两个不同解的解使得非齐次线性方程组Ax=b的等号两边成立。

非齐次线性方程组存在两个不同解说明非齐次线性方程组的两个不同的通解，可以设这两个不同放入解为α1，α2，这两个解使得等式A*α1=b，A*α2=b成立。

所以可以用A*α1=b，A*α2=b求出齐次线性方程组Ax=0的一个基础解析，即η=α1-α2，表示为Aη=A（α1-α2）=b-b=0，符合齐次线性方程组Ax=0的等式成立。

根据基础解析和解的关系，n=s-r（A），n为未知数的个数，s为基础解析的个数，求得r（A）=3-1=2。即矩阵A的秩为2。

根据非齐次线性方程组的成立性，所以增广矩阵的秩为2，即r（A∣b）=r（A）=2。

根据非齐次线性方程组的特解定义来说，是使得非齐次线性方程组含有特定常数让等式成立，所以非齐次线性方程组的通解包含齐次线性方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组的任意一个特解。

可以知道非齐次线性方程组的解并不是一定比其齐次线性方程组的解多一个解，两者没有直接的关系。因为r（A∣b）=r（A）=2表示非齐次线性方程组多出了一个自由量，在任意常数中存在着无数解。

扩展资料：

非齐次线性方程组解的存在性

有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

参考资料来源：百度百科-非齐次线性方程组