Question

一道关于双曲线的高中数学题

已知双曲线C的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是x+y=0，且双曲线C过点P(-√2,1)
1) 求此双曲线C的方程。（已求得，为：x^2-y^2=1）
2) 设直线l过点A（0，1），其方向向量为e(1,k),(k＞1)，令向量n满足n*e=0,双曲线C的右支上是否存在唯一一点B，使得|n*AB|=|n|.若存在，求出对应的k值和B的坐标；若不存在，请说明理由。
以下为解析：
解2）依题意，直线l的方程为y=kx+1(k＞1)
设B（x0,y0）是双曲线右支上满足|n*AB|=|n|的点，结合n*e=0得|kx0-y0+1|=√[(k^2)+1],即点B（x0,y0）到直线l的距离d=|kx0-y0+1|/√[(k^2)+1]=1
若k＞1，则直线l在双曲线C的右支上方。
故y0＜kx0+1，从而y0=kx0+1-√[(k^2)+1]，
又因为x0^2-y0^2=1，
所以【(k^2)-1】x0^2+2k{1-√[(k^2)+1]}x0+k^2+3-2√[(k^2)+1]=0
此时(k^2)-1＞0，由⊿=0得k=(√5)/2
此时方程有唯一解x0=(√5)，则B(√5,2)

在解析中说“故y0＜kx0+1，从而y0=kx0+1-√[(k^2)+1]，”从这句话开始不太懂，希望能讲解一下。

Answer 1

因为距离d=|kx0-y0+1|/√[(k^2)+1]=1，有绝对值，所以要去掉绝对值符号，就要比较yo和kxo+1的大小关系。因为渐近线的斜率为1，所以k>1直线才与双曲线有交点。然后就是联立双曲线方程求解。因为题中要求唯一的点B，所以⊿=0