Question

∫√(1+t^2)dt的积分公式是什么？

Answer 1

∫√(1+t^2) dt= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln{t+√(1+t^2) }+ C。C为积分常数。

解答过程如下：

令t=tan[x]

∫√(1+t^2) dt

= ∫sec[x]d(tan[x])

= sec[x]tan[x] - ∫tan[x]d(sec[x])

= sec[x]tan[x] - ∫tan[x](tan[x]sec[x])dx

= sec[x]tan[x] - ∫(sec[x]sec[x]-1)sec[x]dx

= sec[x]tan[x] - ∫sec[x]d(tan[x])dx + ∫sec[x]dx

所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2∫sec[x]dx

其中∫sec[x]dx = ∫sec[x]{sec[x]+tan[x]}/{sec[x]+tan[x]} dx

= ∫d{tan[x]+sec[x]}/{sec[x]+tan[x]}

= ln{sec[x]+tan[x]}

所以∫sec[x]d(tan[x]) =1/2sec[x]tan[x]+ 1/2ln{sec[x]+tan[x]} + C

代回得：

∫√(1+t^2) dt

= t√(1+t^2) /2 + 1/2ln{t+√(1+t^2) }+ C

扩展资料：

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。