Question

高中数学函数题

若直线ax+2by-2=0(a、b∈R＋)始终评分圆x^2+y^2-4x-2y-8=0的周长，则1/a+2/b的最小值为？

A.1
B.5
C.4√2
D.3+2√2

Answer 1

圆x^2+y^2-4x-2y-8=0
即：(x-2)^2+(y-1)^2=13
直线始终平分圆周长，也就是过圆心嘛
将x=2,y=1 代入ax+2by-2=0
得a+b=1(1)
设1/a+2/b=k((2)
将(1)代入(2)整理得：
ka^2+(1-k)a+1=0
Δ=(1-k)^2-4k=k^2-6k+1=(k-3)^2-8≥0
k≥3+2√2或k≤3-2√2
由于k 是正数，且直线始终过圆心
故k最小值为：3+2√2
即1/a+2/b的最小值3+2√2

选D

Answer 2

由题目条件知，直线经过圆心(2,1)，代人直线方程，求得a+b=1，
由于a、b都是正数，故0<a、b<1
所以，1/a+2/b必然是大于3的，而当a=b=0.5时，1/a+2/b=5，看到其他选项均大于5，所以选B

Answer 3

解：因为x²+y²-4x-2y-8=0
故：(x-2) ²+(y-1) ²=13
故：圆心（2，1）

因为直线ax+2by-2=0(a、b∈R＋)始终平方分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长
即：直线ax+2by-2=0过圆心（2，1）
故：a+b=1

故：1/a+2/b=（a+b）/a+2（a+b）/b=3+b/a+2a/b≥3+2√2
故：选D