Question

解析几何中的一个存在性问题

证明：对于抛物线y^2=2px（p>0）上任意一点A，在该抛物线上总存在两点B、C，使得△ABC为正三角形。
回复： shuanghxu

您的发言中提到“……此时，AB>AC，则继续逆时针旋转，AB越来越大，AC越来越小，……”

何以见得“AB越来越大，AC越来越小”，没有定量的计算作支撑，仅从直观上考量也缺乏说服力！

Answer 1

如图，设△ABC边长为a，x轴正向到AB的夹角为θ，A(x0，y0).

则B(x0+acosθ，y0+asinθ)，C(x0+acos(π/3-θ)，y0+asin(π/3-θ))。

满足：

y0^2=2px0 ①

(y0+asinθ)^2=2p(x0+acosθ) ②

(y0+asin(π/3-θ))^2=2p(x0+acos(π/3-θ)) ③

联立以上方程，消去x0、 a可得：

(pcosθ-y0sinθ)(sinθ+√3cosθ)^2=2sinθ^2[(p-√3y0)cosθ+(y0+√3p)sinθ]

即：

(pcotθ-y0)(1+√3cotθ)^2=2[(p-√3y0)cotθ+(y0+√3p)]

这是一个关于cotθ的三次方程，必有一个实数根。

故：以A为顶点的抛物线内接正三角形存在。

注：级别太低，上传不了图片，如果需要的话，传给你！

Answer 2

-------------------------------思路-----------------------------------

在抛物线上侧任取一点A；过A点向下方引一条射线交于B；再过A点作一条射线与前一条射线成60度，伸向X正方向，与抛物线交于C。

想象，将两条射线同时逆时针旋转，必然旋转一定角度后，AB斜率为负，B在抛物线下侧，AC斜率为正，C在上侧（斜率不为0，与抛物线肯定有交点，正斜率上交点，负斜率下交点）；

如此时，AB>AC，则继续逆时针旋转，AB越来越大，AC越来越小，中间一定有一个时刻AB=AC；如果AB<AC，则顺时针旋转，AB越来越小，AC越来越大，中间一定有一个时刻AB=AC。

对任意点A，上述过程都是可行的。

------------------------------回楼主，补充说明-----------------------
此时如果继续逆时针旋转，B点x坐标越来越大，y坐标越来越负，B与A在X、Y两个方向上的差距都越来越大，直线距离当然越来越大

我只是说一个思路，计算就是解一元二次方程，可能嫌麻烦哈。