Question

高中数学圆与方程

过P(1.5,0)的l与圆O:x^2+y^2=4交于A,B
（1）OA向量*OB向量=0，求l的斜率
（2）OA向量*OB向量=-7/4，求l的斜率

Answer 1

(1)可以验证：所求直线L不平行于y轴。
故设L的方程为:y=k(x-1.5)或y-k(x-1.5)=0
由于OA向量*OB向量=0，知这两个向量互相垂直。它们是一个直角三角形的两边，故知其斜边长为2倍根号2.而原点到此边的距离为：根号2.
即原点到直线L 距离为根号2.按点到直线的距离公式有：
|[0-k(0-1.5)]/[根号（1^2+k^2)]=根号2，
即|1.5*k/[根号（1＋k^2)]=根号2，
两端平方并整理得：2.25*k^2=2(1+k^2)
即得0.25*k^2=2,k^2=8,
从而k=2倍根号2，和k=-2倍根号2.
即为L的斜率

（2）可知OA,OB 的夹角余弦为OA*OB/|OA||OB|
=(-7/4)/(2*2)=-7/16.
按余弦定理
|AB|^2=|OA|^2+|OB|^2-2*|OA|*|OB|*cos(AOB)
=4+4-2*2*2*(-7/16)=23/2.
原点到AB的距离的平方为：4-(|AB|/2)^2=
=4-|AB|^2/4=4-23/8=9/8.
按点到直线的距离公式有：
|[0-k(0-1.5)]/[根号（1^2+k^2)]=根号(9/8)，
即|1.5*k/[根号（1＋k^2)]=根号(9/8)，
两端平方并整理得：2.25*k^2=(9/8)(1+k^2)
即得(9/4)*k^2=(9/8)+(9/8)*k^2
(9/8)k^2=9/8, k^2=1,
从而k=1 或-1
从而k=2倍根号2，和k=-2倍根号2.
即为L的斜率。