Question

在△中,2b+1除2=cosC除cosA,求A

Answer 1

根据余弦定理有：
cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)
cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
代入已知条件 2b + 1/2 = cos C / cos A 得：
2b + 1/2 = [(a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)] / [(b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)]
化简得：
4b^2c^2 + 2ac^4 - 2a^3b^2 - a^2b^2c - b^4c = 1
利用海龙公式可将面积表示为：
S = sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)] = sqrt[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] / 4
其中 s = (a+b+c) / 2 是半周长。
化简得：
16S^2 = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4
又因为 a^2 + b^2 - 2ab cos C = c^2，代入化简得：
a^2 + b^2 - 2ab [(a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)] = c^2
化简得：
ab - acosC = b^2
代入已知条件 2b + 1/2 = cos C / cos A 可以求出 b 和 c：
2b + 1/2 = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab) * (2bc) / (b^2 + c^2 - a^2)
化简得：
4b^4c^2 + b^2c^4 - 2a^2b^3c + 2a^3b^2c - a^2b^2c^2 - b^6 = 1/4
将 b 和 c 代入上面的式子可以求得 a：
a = sqrt[(2b+1)^2/4 - 9/4]
最后代入 x²+xy+y²+2014 的表达式中即可求得答案：
x² + xy + y² + 2014 = a^2 + ab + b^2 + 2014

Answer 2

根据三角形中角度的性质，有：

A + B + C = 180°

移项得：

C = 180° - A - B

代入题目中的等式，得：

2b + 1 = cosC / cosA = cos(180° - A - B) / cosA = -cos(A + B) / cosA

将分母移到等式左侧，得：

2b cosA + cos(A + B) = -cosB

根据余弦定理：

cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac

代入题目中的等式，得：

2b cosA + cos(A + B) = -(a^2 + c^2 - b^2) / 2ac

代入正弦定理：

a / sina = b / sinb = c / sinc

得：

a = 2bsinA

c = 2bsinC

代入上式，得：

4b^2 sinA cosA + cos(A + B) = -(4b^2sin^2A + 4b^2sin^2C - b^2) / 4b^2sinAsinC

化简得：

4sinAcosA + cos(A + B)sinAsinC = -sin^2A - sin^2C + 1 / 4

根据和差化积公式，有：

cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB

代入上式，得：

4sinAcosA + (cosAcosB - sinAsinB)sinAsinC = -sin^2A - sin^2C + 1 / 4

化简得：

4sinAcosA + cosAcosBsinAsinC - sin^2A sinC = -sin^2A - sin^2C + 1 / 4

移项，得：

4sinAcosA + sin^2A sinC - cosAcosBsinAsinC + sin^2A + sin^2C - 1 / 4 = 0

化简得：

(16sinAcosA + 4sin^3A sinC - 4cosAcosBsinAsinC + 4sin^3A + 4sin^3C - 1) / 16 = 0

移项，得：

16sinAcosA + 4sin^3A sinC - 4cosAcosBsinAsinC + 4sin^3A + 4sin^3C - 1 = 0

根据三角恒等式，有：

sin2x = 2sinx cosx

代入上式，得：

8sin2A + 2sin2A sinC - 2sin(A + B)sinAsinC + 2sin2A + 2sin^2C - 1 = 0

化简得：

10sin2A + 2sin2A sinC - 2sin(B - A)sinC - 1 = 0

根据正弦定理，有：

sinA / a = sinB / b

代入上式，得：

10sin2A + 2sin2A (c / 2b) - 2sin(B - A)(c / 2b) - 1 = 0

代入a = 2bsinA，得：

10sin2A + 2sinAcosA - 2sin(B - A)cosC - 1 = 0

代入cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab，得：

10sin2A + 2sinAcosA - 2sin(B - A)(a^2 + b^2 - c^2) / 4ab - 1 = 0

代入B + C = 180° - A，得：

10sin2A + 2sinAcosA - 2sin(180° - 2A)((2bsinA)^2 + b^2 - (2bsinC)^2) / 4ab - 1 = 0

化简得：

10sin2A + 2sinAcosA + sin2A - 5 / 4 = 0

移项，得：

14sin2A + 4sinAcosA - 5 = 0

根据三角恒等式，有：

sin2x = 2sinx cosx

代入上式，得：

28sinAcosA + 8cos^2A - 10 = 0

根据三角恒等式，有：

1 + tan^2x = sec^2x

代入上式，得：

28sinAcosA + 8(1 + sin^2A) - 10 = 0

化简得：

36sin^2A + 28sinA - 2 = 0

解得：

sinA = (-7 ± sqrt(55)) / 18

因为0° < A < 180°，所以：

sinA = (-7 + sqrt(55)) / 18

将sinA代入原等式中，得：

2b + 1 = cosC / cosA

代入cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab，得：

2b + 1 = (a^2 + b^2 - c^2) / 2abcosA

代入a = 2bsinA，c = 2bsinC，得：

2b + 1 = (4b^2sin^2A + b^2 - 4b^2sin^2C) / 8b^2sinAsinCcosA

化简得：

16sinAcosA + 4sin^3A sinC - 4cosAcosBsinAsinC + 4sin^3A + 4sin^3C - 1 = 0

将sinA代入上式，代入cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab和a = 2bsinA，c = 2bsinC，得：

8sin2A + 2sin2A (c / 2b) - 2sin(B - A)(c / 2b) - 1 = 0

代入B + C = 180° - A，得：

10sin2A + 2sinAcosA + sin2A - 5 / 4 = 0

解得：

sinA = (-7 + sqrt(55)) / 18

因为0° < A < 180°，所以：

A ≈ 100.92°

因此，A约为100.92度。