Question

如图，E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点，且S△ABE＝3，S△ECF＝8， S△ADF＝5，则矩形ABCD的面积为_

如图，E、F分别是矩形ABCD的BC边和CD边上的点，且S△ABE＝3，S△ECF＝8，
S△ADF＝5，则矩形ABCD的面积为__________．

Answer 1

作EG⊥AD交AD于G,FH⊥AB交AB于H,FH与EG交于Q.
由已知条件和作图条件可知，AD=BC=FH,AB=CD=EG,CE=FQ=DG,BE=QH=AG,DF=QG=AH.
AB*BE=3*2(1)
AD*DF=5*2(2)
CF*CE=CF*(BC-BE)=CF*BC-CF*BE=2*8(3)
CF*CE=(CD-DF)*EC=EC*CD-EC*DF=2*8(4)
(1)+(4)得：AB*BC-EC*DF=22(5)
(2)+(3)得：AD*CD-CF*BE=26(6)
(5)-(6)得：EC*DF-CF*BE=4
因CF=EQ,EC=FQ,
所以FQ*DF-EQ*BE=4
S四边形FQGD-S四边形BEQH=4
设S四边形BEQH=x,S四边形FQGD=x+4
S四边形FQGD/S四边形FQEC=GQ/QE=S四边形AGQH/S四边形BEQH(在两个矩形中，长和宽如有一边对应相等，那么对应的另一边的比等于两个矩形面积的比），
设S四边形AGQH=y
（x+4）/（8*2）=y/x
y=x（x+4）/16，
S四边形ABEG=2S△ABE=2*8=16
又S四边形ABEG=S四边形AGQH+S四边形BEQH=x（x+4）/16+x=3*2=6
解得：x1=4，x2=-24（不合题意舍去）
S矩形ABCD=S四边形AGQH+S四边形BEQH+S四边形ECFQ+S四边形FQGD
=y+x+8*2+x+4
=x（x+4）/16+x+8*2+x+4
=4*（4+4）/16+4+16+4+4
=30