Question

三角形ABC中，AD=1/2AB,BE=1/3BC,CF=1/4AC，三角形DEF的面积=1，求三角形ABC的面积

Answer 1

解：
由正弦定理得
∵S△ABC=1/2sinA*AB*AC S△ADF=1/2sinA*AD*AF
∴S△ADF/S△ABC=(AD/AB)*(AF/AC)=1/2*3/4=3/8
同理可知:
S△BDE/S△ABC=(BD/AB)*(BE/BC)=1/2*1/3=1/6
S△CEF/△ABC=(CE/BC)*(CF/AC)=2/3*1/4=1/6
∴总共占S△ABC的3/8+1/6+1/6=17/24
则S△DEF占S△ABC的1-17/24=7/24
所以S△ABC=24/7

Answer 2

连接CD、AE,设△ABC的BC边上的高为h，
因BE=1/3BC,S△ABE=1/2*BE*h=1/2*1/3BC*h=1/3（1/2*BC*h)=1/3S△ABC,
同理BE=1/3BC,可求S△AEC=2/3S△ABC(等高三角形面积的比等于对应底边的比）,D为AB中点，S△CDA=1/2S△ABC.
D为AB中点，△ADE和△BDE等底等高，S△BDE=S△ADE=1/2*S△ABE=1/6S△ABC；
F为AC四等分点，△CEF和△AEC等高，S△CEF/S△AEC=CF/AC=1/4,S△CEF=1/4S△AEC=1/4*2/3S△ABC=1/6S△ABC；
同理可求S△ADF=3/8S△ABC,
所以S△DEF=S△ABC-S△BDE-S△CEF-S△ADF=S△ABC-1/6S△ABC-1/6S△ABC-3/8S△ABC=7/24S△ABC,
S△ABC=24/7S△DEF=24/7*1=24/7