Question

二次函数f(x)满足f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)

Answer 1

f(x)=ax²+bx+c
f(0)=0+0+c=0
c=0
f(x)=ax²+bx

f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)
=ax²+(2a+b)x+(a+b)

f(x)+x+1=ax²+(b+1)x+1
所以ax²+(2a+b)x+(a+b)=ax²+(b+1)x+1
所以x的系数和常数项相同
2a+b=b+1
a+b=1
所以a=b=1/2

所以f(x)=x²/2+x/2

Answer 2

解：令x=-1和0代入等式得 f（-1）=0 f（1）=1
故x=-1和x=0为二次函数与x轴的两个交点
故可设函数为y=ax（x+1） 将f（1）=1代入得
a=1/2 所以y=1/2x（x+1）=1/2x^2+1/2x

Answer 3

令f(x)=ax2+bx+c,因为f(0)=0,所以C=0.f(x+1)=ax2+2ax+a+bx+b=f(x)+x+1=ax2+bx+x+1.所以,b+1=2a+b,a+b=1,所以a=1/2,b=1/2.f(x)=1/2x2+1/2x

Answer 4

f(1)=f(0)+0+1=1
f(0)=f(-1)-1+1
f(-1)=0
设两次函数为f(x)=ax^2+bx+c
c=0
0=a-b
1=a+b
a=0.5 b=0.5 c=0
所以f(x)=1/2 x^2+1/2 x

Answer 5

解：由题意f(x)=f(x-1)+x=f(x-2)+x+(x-1)=……=f(0)+x+(x-1)+(x-2)+……+1=1+2+3+……+x=1/2(x)(x+1)=1/2(x^2)+1/2(x)