Question

中考函数题！速度！

1.已知抛物线y=x^2+mx-2m^2(m≠0）
（1）求证：该抛物线与x轴有两个不同交点。
（2）过点P（0，n）作y轴的垂线交该抛物线与点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数m,n，使得AP=2PB？若存在，则求出m,n满足的条件；若不存在，请说明理由。

2.已知：二次函数y=x^2-(m+1)x+m的图像交x轴于A（x1,0），B (x2,0)，交y轴的正半轴于点C，且x1^2+x2^2=10，求此二次函数的解析式。

Answer 1

(1)x^2+mx-2m^2 = 0
delt = m^2 + 8m^ = 10m^2 >0
(2)m<0时，抛物线对称轴在y轴右侧，PA必然小于PB，当m=0时，PA=PB，
所以m>0
y=n时，x^2+mx-2m^2 = n, (x+m/2)^2 = n+(9m^2)/4 > 0，即n>-(9m^2)/4
假设x1<x2，则 x1 = -m/2 - √[n+(9m^2)/4]； x2=-m/2+ √[n+(9m^2)/4]
AP = |x1| = m/2 + √[n+(9m^2)/4]
当 √[n+(9m^2)/4]>m/2时，n + 2m^2>0, n>-2m^2
2PB = 2|x2| = -m + √[n+(9m^2)] = AP = m/2 + √[n+(9m^2)/4]
3m = √[n+(9m^2)], n=0,满足不等式条件，此时要求m>0,两交点分别在y轴两侧

当 √[n+(9m^2)/4]<m/2时，n + 2m^2<0, -(9m^2)/4 <n<-2m^2
2PB = 2|x2| = m - √[n+(9m^2)] = AP = m/2 + √[n+(9m^2)/4]
m/3 = √[n+(9m^2)], n + 80m^2/9 = 0, n = -80m^2/9< -(9m^2)/4,不满足不等式条件

综上，n=0,m>0时，存在实数m,n，使得AP=2PB

2、y=0时，x^2-(m+1)x+m = 0
x1+x2 = m+1 x1x2 = m
x1^2+x2^2= (m+1)^2 - 2m =m^2 + 1 = 10, m = +/- 3

x=0时，y = m>0，交正半轴，所以m=3

y=x^2-4x+3

Answer 2

1,(1)所谓要证抛物线与x轴有两个不同交点即要证方程
x^2+mx-2m^2=0有两个不同的根
即要证Δ=m^2+8m^2=9m^2>0,
Δ为平方项且m≠0,显然 Δ>0即得证
(2)代y=n入y=x^2+mx-2m^2得x^2+mx-2m^2-n=0
假设存在,则上面方程有两不同根,
x1+x2=-m x1*x=-2m^2-n
若A,B都在P左侧,设PA=2PB=2a,则xA=-2a,xB=-a
xA,xB即为x1,x2,代入上面两个关系式得,a=m/3, n=-20m^2/9
若B在P右侧,则xA=-2a,xB=a
代入上面关系式得a=m,n=0

所以假设成立,m,n满足的条件是n=-20m^2/9 或者n=0,m为任意实数

2 ,令y=x^2-(m+1)x+m=0 得x1=1,x2=m
由x1^2+x2^2=10得m=3或m=-3
当m=-3时,y=x^2-(m+1)x+m=x^2+2x-3,当x=0时y=-3,即为交点C,
但由题目中C在Y正半轴知, m=-3 要舍去
所以m=3,易验证此解是合理的

Answer 3

1、（1）抛物线与x轴有两个不同的交点，即y=0有两个不相等的实数解。
则对于y=0，当m≠0时，△=m^2+8m^2=9m^2＞0，
所以y=0有两个不等实数解，即抛物线与x轴有两个不同的交点。
（2）此时，相当于求y=n是否存在两个实数解x(1)、x(2)，x(1)＜0，x(2)＞0，
使它们满足x(1)=-2x(2)。
假设这样的两个截存在，则方程为x^2+mx-2m^2=n，
x(1)+x(2)
=-x(2)=-m，得x(2)=m；
x(1)x(2)
=-2[x(2)]^2
=-(2m^2+n)，
代入x(2)=m，则得n=0
则方程为y=0，x(1)=-2m，x(2)=m，m＞0
所以，m、n应满足n=0，m≠0。

2、解y=0得x(1)=1，x(2)=m，
且易知点C为(0，m)，m＞0，
由x(1)^2+x(2)^2=10得
1+m^2=10
得m=3（m=-3舍去）
所以，函数解析式为
y=x^2-4x+3。