Question

若X1,X2是关于X的方程X²-（2k+1）X+K²+1=0的两个实数根，且X1,X2都大于0.若X1/X2=1/2,求k的值

Answer 1

x2=2x1>0

韦达定理
x1+x2=2k+1
x1x2=k²+1
所以x1+2x1=3x1=2k+1
x1=(2k+1)/3
x1*(2x1)=2x1²=k²+1
x1²=(k²+1)/2
所以[(2k+1)/3]²=(k²+1)/2
8k²+8k+2=9k²+9
k²-8k+7=0
(k-1)(k-7)=0
k=1,k=2

Answer 2

x2/x1=2
相加 (x1^2+x2^2)/x1x2=5/2
(x1+x2)^2/x1x2=9/2
(4k^2+4k+1)/k^2+1=9/2
并且（2k+1）>0
解得K=4+根号19

Answer 3

x1+x2=2k+1
x1x2=k^2+1
(x1+x2)^2/x1x2=((x1/x2)+1)^2/(x1/x2)=9/2=(2k+1)^2/(k^2+1)
解得：
k=1 or 7