Question

已知数列｛an｝的前n项和记为Sn,且Sn=(4/3)an-2/3,(n∈N＊) (1)求数列｛an｝的通项公式

(2）设bn=log2an,cn=an+bn,设数列｛cn｝的前n项和Tn
(3)求使不等式（1+1/b1)(1+1/b2)…(1+1/bn)≥p*根号下2n+1对一切n∈N＊均成立的最大实数p

Answer 1

(1) Sn=(4/3)an-2/3 Sn-1=(4/3)an-1-2/3
两式相减得an=Sn-Sn-1=(4/3)an-(4/3)an-1 所以an：an-1=4
所以q=4 a1=S1=2所以a2=8满足an：an-1=4
所以｛an｝为等比数列 所以an=2*4^(n-1)=2^(2n-1)
(2) bn=2n-1 cn=2n-1+2^(2n-1)
设bn的前n项和记为Gn
bn-bn-1=2所以{bn}为d=2的等差数列 Gn=（1+2n-1）*n/2=n
Tn=n+Sn=n+（4/3)an-2/3=n+（8q^3-2)/3

Answer 2

(1)
3a(n) = 3S(n) - 3S(n-1) = 4a(n) - 4a(n-1)
a(n) = 4a(n-1)
a(n) = 4^(n-1) * a(1).....式I
又因为
3a(1) = 3S(1) = 4a(1) - 2
a(1) = 2
带入式I的
a(n) = 4^(n-1) * 2 = 2^(2n-1)

(2)
b(n) = log( 2, a(n) ) = 2n - 1
c(n) = 2^(2n-1) + 2n - 1
T(n) = S(n) + ( 1 + n ) * n - n = 1/3 * 2^(2n+1) - 2/3 + n^2

(3)
令p(n) = (1+1/b(1))(1+1/b(2))…(1+1/b(n))/√(2n+1)
则p(n+1)/p(n) = ( 1 + 1 / b(n) ) * √(2n+1) / √(2n+3)
= 2n√(2n+1) / (2n-1) / √(2n+3)

令q(n) = p(n+1)/p(n)
t(n) = ln q(n)
=ln2n + 0.5ln(2n+1) - ln(2n-1) - 0.5ln(2n+3)
t'(n) = 2/2n + 1/(2n+1) - 2/(2n-1) - 1/(2n+3)
= -(10n+6) / n / ( 2n+1 ) / ( 2n-1 ) / ( 2n+3 )
当n∈N时, t'(n) < 0
所以t(n)递减, q(n)也递减
lim(n->+∞) q(n) = 1
所以 p(n+1)/p(n) > 1, p(n)递增
p(1)为{p(n),n∈N}中最小值
所求最大实数p = p(1) = ( 1 + 1/b(1) ) / √ ( 2 + 1 ) = 2√3/3

Answer 3

1）Sn-S（n-1）
=(4/3)an-2/3-〔(4/3)a（n-1）-2/3〕
=an

得an=4a（n-1）即an/a（n-1）=4

a1==(4/3)a1-2/3，得a1=2

所以｛an｝以首项为2，公比为4的等比数列

所以an=2*4^(n-1)=2^(2n-1)

2)、bn=log2 an=log2 2^(2n+1)=2n-1
所以Cn=an+bn=2^(2n-1)+2n-1

Tn=a1+a2+a3...an+b1+b2+b3+...+bn

=(4/3)*2^(2n-1)-2/3+n^2

Answer 4

(1)n>=2
Sn=(4/3)an-2/3
S（n-1)=(4/3)a（n-1)-2/3
得an/a（n-1)=4,S1=(4/3)a1-2/3,a1=2,an=2*4^(n-1)
(2）bn=log2an=2n-1,cn=an+bn=2n-1+2*4^(n-1),分组求和我就不写了
(3）1+1/bn=（2n）/(2n-1),因为（2n）/(2n-1)>√((2n+1)/(2n-1))
（1+1/b1)(1+1/b2)…(1+1/bn)>√((2n+1)≥p√((2n+1)
所以1≥p
对一切n∈N＊均成立的最大实数p=1