Question

设函数f(x)的定义域为R,当x<0时,0<f(x)<1,且对任意的实数x，y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)。

如题求
（1）求f（0）;
(2)求证：函数f（x）在R上单调递增函数。

Answer 1

（1）

令 y = 0 得 f(x + 0 ) = f(x)*f(0) 即 f(x) = f(x) * f(0)

因 f(x) 不恒为零 （ x<0时,0<f(x)<1 ）所以

f(0) = 1

（2）
先判别 x<0时 f(x) 是递增的：
令x<0时的任意两个值x1,x2 有 x1<x2
根据 f(x+y) = f(x)*f(y)
推得 f(x2 + x1-x2) = f(x2)* f(x1-x2)
得 f(x1) =f(x2) * f(x1-x2)
因 x1-x2<0 故 0 <f(x1-x2) <1
因为f(x1)和f(x2)均大于0，所以 f(x1) < f(x2)
因而x<0时是 单调递增的

再判别 x > 0 时 是单调递增
x > 0 时令 y = -x
根据 f(x+y) = f(x)*f(y)
得 f(0) = f(x) * f( -x)

即 f(x) * f(-x) = 1
根据函数图像或分析关系式f(x) = 1/f(-x) 不难得出
此时f(x) 是单调递增的

最后再综合 f(0) = 1 得出
函数f（x）在R上单调递增函数